克鲁斯卡尔算法时间复杂度（Kr***al算法的时间复杂度是多少）

本文目录

• Kr***al算法的时间复杂度是多少
• kr***al算法是什么
• 最小生成树的两种算法
• 数据结构中排序和查找各种时间复杂度
• 最小生成树 普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
• prim和kr***al算法的区别
• 数据结构复习总结第七章图
• 最小生成树实际应用的例子

Kr***al算法的时间复杂度是多少

Kr***al算法的时间复杂度由排序算法决定，若采用快排则时间复杂度为O(N log N)。kr***al算法：求加权连通图的最小生成树的算法。kr***al算法总共选择n- 1条边，（共n个点）所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生环路的具有最小耗费的边加入已选择的边的集合中。注意到所选取的边若产生环路则不可能形成一棵生成树。kr***al算法分e 步，其中e 是网络中边的数目。按耗费递增的顺序来考虑这e 条边，每次考虑一条边。当考虑某条边时，若将其加入到已选边的集合中会出现环路，则将其抛弃，否则，将它选入。假设WN=(V,{E})是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

kr***al算法是什么

kr***al算法是：克鲁斯卡尔算法。是求连通网的最小生成树的另一种方法。与普里姆算法不同，它的时间复杂度为O（eloge）、（e为网中的边数），所以，适合于求边稀疏的网的最小生成树。

克鲁斯卡尔（Kr***al）算法从另一途径求网的最小生成树。其基本思想是：假设连通网G=（V，E），令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=（V，{}），概述图中每个顶点自成一个连通分量。

在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点分别在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中；否则，舍去此边而选择下一条代价最小的边。依此类推，直至T中所有顶点构成一个连通分量为止。

复杂度：

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度主要由排序方法决定，而克鲁斯卡尔算法的排序方法只与网中边的条数有关，而与网中顶点的个数无关，当使用时间复杂度为O（elog2e）的排序方法时，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度即为O（log2e），因此当网的顶点个数较多、而边的条数较少时，使用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树效果较好。

最小生成树的两种算法

主要有两个：1.普里姆（Prim)算法 特点：时间复杂度为O(n2).适合于求边稠密的最小生成树。2.克鲁斯卡尔（Kr***al)算法 特点：时间复杂度为O(eloge)(e为网中边数），适合于求稀疏的网的最小生成树。

数据结构中排序和查找各种时间复杂度

数据结构中排序和查找各种时间复杂度 (1)冒泡排序 冒泡排序就是把小的元素往前调或者把大的元素往后调。比较是相邻的两个元素比较，交换也发生在这两个元素之间。所以相同元素的前后顺序并没有改变，所以冒泡排序是一种稳定排序算法。(2)选择排序 选择排序是给每个位置选择当前元素最小的，比如给第一个位置选择最小的。…… 例子说明好多了。序列5 8 5 2 9， 我们知道第一遍选择第1个元素5会和2交换，那么原序列中2个5的相对前后顺序就被破坏了， 所以选择排序不稳定的排序算法(3)插入排序 插入排序是在一个已经有序的小序列的基础上，一次插入一个元素。比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果和插入元素相等，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变。所以插入排序是稳定的。(4)快速排序 快速排序有两个方向，左边的i下标一直往右走（往后），当a交换的时刻）(5)归并排序 归并排序是把序列递归地分成短序列，递归出口是短序列只有1个元素(认为直接有序)或者2个序列(1次比较和交换),然后把各个有序的段序列合并成一个有序的长序列。不断合并直到原序列全部排好序。相等时不发生交换。所以，归并排序也是稳定的排序算法。(6)基数排序 基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序，最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序，分别收集，所以其是稳定的排序算法。(7)希尔排序(shell) 希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序，当刚开始元素很无序的时候，步长最大，所以插入排序的元素个数很少，速度很快；当元素基本有序了，步长很小，插入排序对于有序的序列效率很高。所以，希尔排序的时间复杂度会比o(n^2)好一些。由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以shell排序是不稳定的。(8)堆排序 我们知道堆的结构是节点i的孩子为2*i和2*i+1节点，大顶堆要求父节点大于等于其2个子节点，小顶堆要求父节点小于等于其2个子节点。在一个长为n的序列，堆排序的过程是从第n/2开始和其子节点共3个值选择最大(大顶堆)或者最小(小顶堆),这3个元素之间的选择当然不会破坏稳定性。但当为n/2-1, n/2-2, ...1这些个父节点选择元素时，就会破坏稳定性。有可能第n/2个父节点交换把后面一个元素交换过去了，而第n/2-1个父节点把后面一个相同的元素没有交换，那么这2个相同的元素之间的稳定性就被破坏了。所以，堆排序是不稳定的排序算法一、排序排序法 平均时间 最差情形 稳定度 额外空间 备注冒泡 O(n2) O(n2) 稳定 O(1) n小时较好交换 O(n2) O(n2) 不稳定 O(1) n小时较好选择 O(n2) O(n2) 不稳定 O(1) n小时较好插入 O(n2) O(n2) 稳定 O(1) 大部分已排序时较好Shell O(nlogn) O(ns) 1《s《2 不稳定???="" o(1)???????="" s是所选分组《/s快速 O(nlogn) O(n2) 不稳定 O(nlogn) n大时较好归并 O(nlogn) O(nlogn) 稳定 O(1) n大时较好堆 O(nlogn) O(nlogn) 不稳定 O(1) n大时较好基数 O(logRB) O(logRB) 稳定 O(n) B是真数(0-9)，R是基数(个十百)二、查找未写……三 树图克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O（eloge）普里姆算法的时间复杂度为O（n2）迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O（n2）拓扑排序算法的时间复杂度为O（n+e）关键路径算法的时间复杂度为O（n+e）

最小生成树 普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

kr***al算法的时间复杂度主要由排序方法决定，其排序算法只与带权边的个数有关，与图中顶点的个数无关，当使用时间复杂度为O（eloge）的排序算法时，克鲁斯卡算法的时间复杂度即为O（eloge），因此当带权图的顶点个数较多而边的条数较少时，使用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树效果最好！克鲁斯卡尔算法 假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。 普里姆算法 假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，TV 是 WN 上最小生成树中顶点的集合，TE 是最小生成树中边的集合。显然，在算法执行结束时，TV=V，而 TE 是 E 的一个子集。在算法开始执行时，TE 为空集，TV 中只有一个顶点，因此，按普里姆算法构造最小生成树的过程为：在所有“其一个顶点已经落在生成树上，而另一个顶点尚未落在生成树上”的边中取一条权值为最小的边，逐条加在生成树上，直至生成树中含有 n-1条边为止。 --以上传自while(scanf("%d",&n)!=EOF){ p=0; total=0; makeset(n); for(i=0;i《n;i++) { for(j=0;j《n;j++) { scanf("%d",&a); e.v1=i; e.v2=j; e; p++; } } qsort(e,p,sizeof(e),cmp); for(i=0;i《p;i++) { r1=find(e.v1); r2=find(e.v2); if(r1!=r2) { total+=e.len; v=r2; } } printf("%d\n",total);}system("pause");return 0;}2.Prim//题目地址同上 #include 《iostream》using namespace std;#define M 101#define maxnum 100001int dis;int prim(int n){bool used={};int d,i,j,k;for(i=1; i《=n; i++) d;used = true;int sum=0;for(i=1; i《n; i++){ int temp=maxnum; for(j=1; j《=n; j++){ if( !used《temp ){ temp = d; k = j; } } used = true; sum += d; for(j=1; j《=n; j++){ if( !used ) d; // 与Dijksta算法的差别之处 }}return sum;}int main(){int n,i,j;while( cin》》n ){ for(i=1; i《=n; i++){ for(j=1; j《=n; j++){ scanf("%d",&dis); if( !dis ) dis = maxnum; } } cout《《prim(n)《《endl;}return 0;}代码来自网络

prim和kr***al算法的区别

Prim算法和Kr***al算法的区别在于思想、适用范围、实现方式不同。

Prim算法是一种贪心算法，从一个点出发，每次选择权值最小的边连接到新的节点，直到所有节点都被遍历。而Kr***al算法是一种基于边的贪心算法，先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次选取最小的边，加入到生成树中，直到生成树中含有所有节点。

Prim算法适用于稠密图，即节点较多、边数较多的情况；而Kr***al算法适用于稀疏图，即节点较多、边数相对较少的情况。

在同样的图结构下，Prim算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N为节点数；而Kr***al算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数，因此在边数较多的情况下，Kr***al算法更快。

Prim算法通常使用堆来实现，以便快速找到权值最小的边；而Kr***al算法通常使用并查集来实现，以便快速判断边是否连接了已有的生成树。总之，Prim算法和Kr***al算法都是求解最小生成树的有效算法，根据具体情况选择不同的算法可以提高计算效率。

使用Prim算法的注意事项

1、图的类型：Prim算法只适用于无向图，而且是连通图，如果是有向图或非连通图，则需要先进行转化或处理。

2、初始节点：Prim算法是从一个初始节点开始构建最小生成树，因此需要选择一个合适的初始节点，以保证最终的最小生成树是正确的。

3、节点标记：Prim算法需要对节点进行标记，以区分已经加入最小生成树的节点和还未加入的节点，需要注意标记的正确性和准确性。

4、权重计算：Prim算法的核心是计算边的权重，需要根据实际情况进行权重计算，以确保最终的最小生成树是正确的。

5、最小堆：Prim算法需要使用最小堆来进行节点的选择和边的计算，需要注意最小堆的实现和使用方法，以确保算法的正确性和效率。

数据结构复习总结第七章图

　　第七章图

　　 图的概念

　　图G是由顶点集V和边集E组成 顶点集是有穷非空集 边集是有穷集;

　　G中每条边都有方向称有向图;有向边称弧;边的始点称弧尾;边的终点称弧头;G中每条边都没有方向的称无向图

　　顶点n与边数e的关系 无向图的边数e介于 ~n(n )/ 之间 有n(n )/ 条边的称无向完全图;

　　有向图的边数e介于 ~n(n )之间 有n(n )条边的称有向完全图;

　　无向图中顶点的度是关联与顶点的边数;有向图中顶点的度是入度与出度的和

　　所有图均满足 所有顶点的度数和的一半为边数

　　图G(V E) 如V 是V的子集 E 是E的子集 且E 中关联的顶点均在V 中 则G (V E )是G的子图

　　在有向图中 从顶点出发都有路径到达其它顶点的图称有根图;

　　在无向图中 任意两个顶点都有路径连通称连通图;极大连通子图称连通分量;

　　在有向图中 任意顺序两个顶点都有路径连通称强连通图;极大连通子图称强连通分量;

　　将图中每条边赋上权 则称带权图为网络

　　 图的存储结构

　　 邻接矩阵表示法

　　邻接矩阵是表示顶点间相邻关系的矩阵 n个顶点就是n阶方阵

　　无向图是对称矩阵;有向图行是出度 列是入度

　　 邻接表表示法

　　对图中所有顶点 把与该顶点相邻接的顶点组成一个单链表 称为邻接表 adjvex|next 如要保存顶点信息加入data;

　　对所有顶点设立头结点 vertex|firstedge 并顺序存储在一个向量中;vertex保存顶点信息 firstedge保存邻接表头指针

　　邻接矩阵表示法与邻接表表示法的比较

　　 ) 邻接矩阵是唯一的 邻接表不唯一;

　　 ) 存储稀疏图用邻接表 存储稠密图用邻接矩阵;

　　 ) 求无向图顶点的度都容易 求有向图顶点的度邻接矩阵较方便;

　　 ) 判断是否是图中的边 邻接矩阵容易 邻接表最坏时间为O(n);

　　 ) 求边数e 邻接矩阵耗时为O(n^ ) 与e无关 邻接表的耗时为O(e+n);

　　 图的遍历

　　 图的深度优先遍历

　　图的深度优先遍历类似与树的前序遍历 按访问顶点次序得到的序列称DFS序列

　　对邻接表表示的图深度遍历称DFS 时间复杂度为O(n+e); 对邻接矩阵表示的图深度遍历称DFSM 时间复杂度为O(n^ );

　　 图的广度优先遍历

　　图的广度优先遍历类似与树的层次遍历 按访问顶点次序得到的序列称BFS序列

　　对邻接表表示的图广度遍历称BFS 时间复杂度为O(n+e); 对邻接矩阵表示的图广度遍历称BFSM 时间复杂度为O(n^ );

　　 生成树和最小生成树

　　将没有回路的连通图定义为树称自由树

　　 生成树

　　连通图G的一个子图若是一棵包含G中所有顶点的树 该子图称生成树

　　有DFS生成树和BFS生成树 BFS生成树的高度最小

　　非连通图生成的是森林

　　 最小生成树

　　将权最小的生成树称最小生成树 (是无向图的算法)

　　 普里姆算法

　　 ) 确定顶点S 初始化候选边集T;formvex|tovex|lenght

　　 ) 选权值最小的T与第 条记录交换;

　　 ) 从T中将tovex取出替换以下记录的fromvex计算权;若权小则替换 否则不变;

　　 ) 选权值最小的T与第 条记录交换;

　　 ) 从T中将tovex取出替换以下记录的fromvex计算权;若权小则替换 否则不变;

　　 ) 重复n 次

　　初始化时间是O(n) 选轻边的循环执行n k次 调整轻边的循环执行n k;算法的时间复杂度为O(n^ ) 适合于稠密图

　　 克鲁斯卡尔算法

　　 ) 初始化确定顶点集和空边集;对原边集按权值递增顺序排序;

　　 ) 取第 条边 判断边的 个顶点是不同的树 加入空边集 否则删除;

　　 ) 重复e次

　　对边的排序时间是O(elog e);初始化时间为O(n);执行时间是O(log e);算法的时间复杂度为O(elog e) 适合于稀疏图

　　 最短路径

　　路径的开始顶点称源点 路径的最后一个顶点称终点;

　　单源最短路径问题 已知有向带权图 求从某个源点出发到其余各个顶点的最短路径;

　　单目标最短路径问题 将图中每条边反向 转换为单源最短路径问题;

　　单顶点对间最短路径问题 以分别对不同顶点转换为单源最短路径问题;

　　所有顶点对间最短路径问题 分别对图中不同顶点对转换为单源最短路径问题;

　　迪杰斯特拉算法

　　 ) 初始化顶点集S;

　　 ) 设置S为 ;

　　 ) 选取D最小的顶点加入顶点集;

　　 ) 计算非顶点集中顶点的路径权集;

　　 ) 重复 )n 次

　　算法的时间复杂度为O(n^ )

　　 拓扑排序

　　对一个有向无环图进行拓扑排序 是将图中所有顶点排成一个线性序列 满足弧尾在弧头之前 这样的线性序列称拓扑序列

　　 无前趋的顶点优先

　　总是选择入度为 的结点输出并删除该顶点的所有边 设置各个顶点入度时间是O(n+e) 设置栈或队列的时间是O(n) 算法时间复杂度为O(n+e)

　　 无后继的顶点优先

　　总是选择出度为 的结点输出并删除该顶点的所有边 设置各个顶点出度时间是O(n+e) 设置栈或队列的时间是O(n) 算法时间复杂度为O(n+e) 求得的是逆拓扑序列

　　附二:

　　第七章图

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　　图的逻辑结构特征就是其结点(顶点)的前趋和后继的个数都是没有限制的 即任意两个结点之间之间都可能相关

　　图GraphG=(V E) V是顶点的有穷非空集合 E是顶点偶对的有穷集

　　有向图Digraph 每条边有方向;无向图Undigraph 每条边没有方向

　　有向完全图 具有n*(n )条边的有向图;无向完全图 具有n*(n )/ 条边的无向图;

　　有根图 有一个顶点有路径到达其它顶点的有向图;简单路径 是经过顶点不同的路径;简单回路是开始和终端重合的简单路径;

　　网络 是带权的图

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　　图的存储结构 ·邻接矩阵表示法 用一个n阶方阵来表示图的结构是唯一的 适合稠密图 ·无向图 邻接矩阵是对称的

　　·有向图 行是出度 列是入度

　　建立邻接矩阵算法的时间是O(n+n^ +e) 其时间复杂度为O(n^ )

　　·邻接表表示法 用顶点表和邻接表构成不是唯一的 适合稀疏图 ·顶点表结构 vertex | firstedge 指针域存放邻接表头指针

　　·邻接表 用头指针确定 ·无向图称边表;

　　·有向图又分出边表和逆邻接表;

　　·邻接表结点结构为 adjvex | next

　　时间复杂度为O(n+e) 空间复杂度为O(n+e)

　　图的遍历 ·深度优先遍历 借助于邻接矩阵的列 使用栈保存已访问结点

　　·广度优先遍历 借助于邻接矩阵的行 使用队列保存已访问结点

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　　生成树的定义 若从图的某个顶点出发 可以系统地访问到图中所有顶点 则遍历时经过的边和图的所有顶点所构成的子图称作该图的生成树

　　最小生成树 图的生成树不唯一 从不同的顶点出发可得到不同的生成树 把权值最小的生成树称为最小生成树(MST)

　　构造最小生成树的算法 ·Prim算法的时间复杂度为O(n^ )与边数无关适于稠密图

　　·Kr***al算法的时间复杂度为O(lge) 主要取决于边数 较适合于稀疏图

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　　最短路径的算法 ·Dijkstra算法 时间复杂度为O(n^ ) ·类似于prim算法

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　　拓扑排序 是将有向无环图G中所有顶点排成一个线性序列 若 ∈E(G) 则在线性序列u在v之前 这种线性序列称为拓扑序列

　　拓扑排序也有两种方法 ·无前趋的顶点优先 每次输出一个无前趋的结点并删去此结点及其出边 最后得到的序列即拓扑序列

最小生成树实际应用的例子

最小生成树实际应用的例子如下：

Kr***al算法，过程描述：始终以边为主导地位，先选择权值最小的边，总是选择当前可用最小权值边，并且每次判断两点之间是否已经间接连通，如果已经间接连通，则跳过此边。时间复杂度是O(n*logn)，适用于求边稀疏连通网的最小生成树。

Prim算法，过程描述：Prim算法始终以顶点为主导，并且起始点的选择是任意的。从起始点到其他点选择最小权值边，然后以此边两个顶点分别再找最小权值的边，同样已经间接连接的边跳过。时间复杂度是O(n2)，适用于求边稠密连通网的最小生成树。

要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这n个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

最小生成树性质与算法简述：

最小生成树性质：设G=(V，E）是一个连通网络，U是顶点集V的一个非空真子集。若(u，v）是G中一条“一个端点在U中（例如：u∈U），另一个端点不在U中的边（例如：v∈V-U），且（u，v）具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边（u，v）。

将集合U中的顶点看作是红色顶点，②而V-U中的顶点看作是蓝色顶点，③连接红点和蓝点的边看作是紫色边，④权最小的紫边称为轻边（即权重最“轻”的边）。于是，MST性质中所述的边（u，v）就可简称为轻边。

求MST的一般算法可描述为：针对图G，从空树T开始，往集合T中逐条选择并加入n-1条安全边（u，v），最终生成一棵含n-1条边的MST。

Kr***al算法简述：假设WN=(V,{E})是一个含有n个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有n棵树的一个森林。