riesz表示定理是什么？共轭函数的正文

本文目录

• riesz表示定理是什么
• 共轭函数的正文
• 欧式空间内积是一个数吗
• 位势论的正文
• 谁能解释一下里斯定理
• 请谈谈你对里斯定理的理解

riesz表示定理是什么

riesz表示定理是里斯定理。在泛函分析中，有多个有名的定理冠以里斯定理，又称里斯表示定理Rieszrepresentationtheorem，它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什里斯。这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系如果底域是实数，两者是等距同构，如果域是复数，两者是等距反同构。

定理的作用

定理theorem，是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题，数学知识的性质是指从数学概念直接推导得出的运算法则或者运算公式等延伸的知识，数学知识的概念和性质具有紧密的衔接关系。

共轭函数的正文

对于周期为 2π的勒贝格可积函数ƒ(x)（以下记为ƒ∈l1(-π,π)），积分几乎处处存在。函数愝(x)称为ƒ(x)的共轭函数。愝(x)未必属于l1(-π,π),例如是某个ƒ∈l1(-π,π)的傅里叶级数,但ƒ的共轭函数logn却不属于l1(-π,π)。然而,当ƒ∈lp(p》1)时,有，就是说,愝∈lp，这是著名的里斯定理。　　共轭函数的概念和单位圆内解析函数的理论有密切关系。假设(2)是ƒ∈l1(-π,π)的傅里叶级数，记为σ【ƒ】。置сk=αk-ibk，那么级数(2)就是幂级数(3)在单位圆周z=eix(0≤x≤2π)上的实部。它的虚部(4)就是ƒ的共轭级数，记为σ【ƒ】。在一定条件下，它是共轭函数愝(x)的傅里叶级数。共轭函数的性质与傅里叶级数σ【ƒ】的收敛性有密切关系。　　以幂级数(3)为桥梁，傅里叶级数σ【ƒ】的许多性质，可以借助于圆内解析函数的理论来推导。这是因为级数(3)在单位圆内是一个解析函数F(z),而解析函数是强有力的理论工具，ƒ(x)与愝(x)的许多深刻的性质便可以通过对F(z)的研究得出。这种方法称为傅里叶分析中的复变函数论方法。例如积分(1)的存在性,以及上述里斯定理的证明都是通过这种方法得到的，它对傅里叶级数理论的发展有着重要意义。

欧式空间内积是一个数吗

经过查询可以知道，欧式空间内积是一个数具有内积运算的线性空间，是n维欧氏空间的无限维推广.设K是实数域或复数域，H是K上线性空间，如果对H中任何两个向量x，y，都对应着一个数(x，y)∈K，满足条件：1.(共轭对称性)对任意的x，y∈H，有(x，y)=.2.(对第一变元的线性性)对任何x，y，z∈H及α，β∈K，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z).3.(正定性)对一切x∈H，有(x，x)≥0且(x，x)=0⇔x=0，这时(·，·)称为H中的内积，而称H为(实或复)内积空间，或准希尔伯特空间.令‖x‖=，则按范数‖·‖，H成为赋范线性空间.设(X，‖·‖)是赋范线性空间，X中能定义内积(·，·)并使‖x‖=恒成立的充分必要条件是X的范数‖·‖满足下面的平行四边形公式：对任何x，y∈X，‖x+y‖2+‖x-y‖2＝2(‖x‖2+‖y‖2).完备的内积空间称为希尔伯特空间，希尔伯特空间H上连续线性泛函的全体记为H*，称H*为H的共轭空间.H的共轭空间H*就是H本身.事实上，设f∈H*，则存在惟一向量y∈H使得对所有x∈H都成立着f(x)=(x，y)，且‖f‖=‖y‖(里斯定理).反之，对每个y∈H，fy(x)=(x，y)确定了H上一个连续线性泛函fy∈H*.做H到H*的映射C如下：C：y→fy(y∈H)，则即C实现了H与H*之间的保范共轭线性同构，在此同构意义下，把fy与y视为等同，便得H*＝H.这一性质也称为希尔伯特空间的自共轭性，它在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用.第一个具体的希尔伯特空间最早是由希尔伯特(Hilbert，D.)在研究积分方程时首先提出的，他在平方可和的无穷实数列{xn}全体组成的空间l2中规定了内积({xn}，{yn})=xnyn，把空间l2看做欧几里得空间向无穷维的推广，从而有效地解决了一类积分方程求解及本征展开问题.不久冯·诺伊曼(von Neumann，J.)建立了一般希尔伯特空间的理论.希尔伯特空间的概念和理论已被广泛应用于数学和物理的各个分支.如积分方程、微分方程、随机过程、函数论、调和分析、数学物理和量子物理等.

位势论的正文

(x)的核函数。用|·|表示R中的范数，当时，U(x)称为平面上的对数位势。当Ω=R(n≥3),0《α《n，K(x,y)=|x-y|时，U(x)称为μ的α位势（或里斯位势），此时也记作U(x)。特别α=2时，U(x)称为μ的牛顿位势。下面限于讨论U扝∞的情形。对R里的两个测度μ和v,把称为μ，v的α相互能量。特别称Iα(μ)=Iα(μ,μ)为μ的α能量。把支柱包含在紧集K中且总质量等于1的非负测度全体记作，令则称为紧集K的α容量。对任意集合E，把称为E的α内容量，把称为E的α外容量。若Cα(E)=婔α(E)，则说E是α可定容的。G.绍凯证明了所有解析集,从而所有的波莱尔集是α可定容的。当Cα(E)=0（或婔α(E)=0）时,称E为α内（或外）零容集。一个性质若除了一个α内零容集外处处成立,则说该性质近乎处处成立；若除了一个α 外零容集外处处成立,则说该性质似乎处处成立。对任意零容的紧集K都有v(K)=0的测度v称为C绝对连续测度。集合E称为α极集，若存在测度μ≥0,其α位势在且仅在E上等于+∞。E是α极集的充要条件是:E为α零容的GΛ集。对紧集 K，关于浑收敛拓扑是紧的，从而存在使称为K的α平衡测度,它满足:(v(1)是v的总质量)。它的位势Uǎ(x)称为K的α平衡位势α它满足：在S(v)处处成立而 在K上近乎处处成立。特别当0《α≤2时,由第一极大值原理知在R处处成立。对任意集E,当Cα(E)《∞（或婔α(E)《∞）时有相应的内(外)平衡测度。当0《α≤2,α《n，若E可定容且Cα(E)《∞时,E的内、外平衡测度相等,称之为E的平衡测度。此时v是满足①支柱在唕,②v(1)=Cα(E),③在E上似乎处处有诸条件的唯一测度。平衡测度是C绝对连续的，而平衡位势Uǎ(x)是这样一族α位势U(x)的下确界:μ≥0且U(x)≥1在E上似乎处处成立。因此，若μ≥0且在E上似乎处处成立,则μ的总质量μ(1)≥Cα(E)。由于测度的α能量非负,所以能量有限的测度全体在通常的线性组合的意义下，以Iα(μ，v)为内积构成一个实的准希尔伯特空间εα,其中非负测度全体ε是εα的一个完备凸锥。若K紧,那么支柱含于K中的具有限α能量的非负测度全体ε(K)是ε的完备凸子锥，因此ε的任何元素μ在ε(K)上有唯一的正交投影βKμ，即满足当0《α≤2时，βKμ是扫除问题的解，即βKμ满足：在R处处成立且等号在K上似乎处处成立。若不假定μ≥0的能量有限，则存在唯一的支柱含于K的测度βKμ使得方程对任意λ∈ε成立且βKμ是扫除问题的解。当0《α≤2,α《n时,对α容量有限的波莱尔集E及测度μ≥0，设A是E的紧子集全体以包含关系为序的有向集，则网{βKμ|K∈A}的浑极限βEμ存在,称βEμ为μ到E的扫除测度,扫除测度βEμ是μ到E的扫除问题的解,且扫除位势是在E上似乎处处满足的位势族{U(x)}的下确界函数。设εx是在点x的狄喇克测度，则βEεC称为E的α格林测度。对任意测度μ,。当x0∈唕且时,称x0为E的α正则点,当x0∈唕而时，称x0为E的α非正则点。开集Ω的边界记作дΩ,余集记作CΩ,称 为Ω的α格林函数。以格林函数为核的位势叫做格林位势。当 α=2时，对任意的波莱尔集E吇дΩ，由定义的дΩ上的测度ωy称为关于y的调和测度,其中XE表示E的特征函数。当2《α《n时,关于测度的扫除问题一般无解，但J.德尼利用广义函数解决了这个问题。用ε宎表示单位质量在以y为球心，r为半径的球面的均匀分布。若函数ƒ在Ω里下半连续且满足①② 对任何x∈Ω,存在正数ρ使对任意正数r《ρ有则称ƒ在Ω里超调和。不恒等于+∞的超调和函数称为上调和函数。若-ƒ上调和，就说ƒ下调和,既上调和又下调和的函数叫调和函数。当2≤α《n时,α位势U(x)是上调和函数。里斯分解定理指出:ƒ在区域Ω里上调和的充要条件是存在唯一的Ω上的测度μ≥0，使得对任何相对紧的区域Ω1嶅捙1嶅Ω有 ,这里μ|Ω1表示μ在Ω1的限制，在Ω1里调和。当0《α《2时，α位势不是上调和函数。但当U(x)是μ几乎处处有限时，它是α上调和函数。一个函数称为α上调和函数,指的是满足下面条件的非负的不恒为+∞的下半连续函数：①② 式中如果在x0的一个邻域内连续的函数满足条件①且对充分小的r恒有 则称ƒ(x)在x0是α调和的。若ƒ(x)在集Ω上点点α调和，则称ƒ在Ω里α调和。对于α上调和函数，同样也有类似的里斯分解定理。对上调和函数的连续性的研究导致细拓扑概念的引入。为叙述方便,也称上调和函数为2－上调和函数。用E┡表示集E的极限点全体,若x0媂E┡或x0∈E┡且存在α上调和函数u(x)使成立,则称E在x0是α瘦的。E在x0是α瘦的充要条件是x0媂唕或x0是E的α非正则点。若E的余集在x0为α瘦则说E在x0是α肥的。若E在E的每一点都是α肥的，则说E是一个α肥集。α肥集全体构成R里一个拓扑,称为α细拓扑。2-瘦和2-细拓扑通常分别称为瘦和细拓扑。开集必为α肥集，α细拓扑比通常拓扑细。此外，当α《α┡时,α细拓扑严格细于α┡细拓扑；α细拓扑是使所有α上调和函数（包括α位势）都连续的最粗拓扑。在α细拓扑下的极限叫α细极限。对α细拓扑,α细极限与不相切极限的关系，J.L.杜布等人曾有深入的研究。第一极大值原理 　当0《α≤2,μ≥0时,若U(x)≤M，μ几乎处处成立，则该不等式处处成立。当2《α《n时，第一极大值原理不成立。广义极大值原理 　当0《α《n时,若U(x)≤M在S(μ)上成立，则处处成立。第二极大值原理 　又称控制原理。设μ≥0是能量有限的测度，λ≥0是任意测度，若μ几乎处处成立,则该不等式处处成立。当0《α《2时，若U(x)关于μ≥0几乎处处有限,ƒ(x)是α上调和函数，且U(x)≤ƒ(x)，μ几乎处处成立，则该不等式处处成立。唯一性原理 　设0《α《n,μ1,μ2是绝对连续的非负测度，若在S(μ1)∪S(μ2)上似乎处处成立，则μ1=μ2。下包络原理 　设0《α≤2，则对任意两个非负测度μ，v存在测度λ，使连续性原理 　若把U(x)看作支柱S(μ)上的函数时是取有限值的连续函数,那么U(x)在整个空间上也连续。能量原理 　对任意测度μ， 等号成立当且仅当μ =0。扫除原理 　当0《α≤2时,对任意α容量有限的波莱尔集E和具有限位势的测度μ≥0,扫除问题有解，即存在支柱在唕的测度βEμ使在E上似乎处处有且在R处处有。

谁能解释一下里斯定理

高维空间中低维点集的测度及低维点集上的积分理论。 20世纪初测度论的建立，使得人们对Rn中的子集关于n维勒贝格测度μn的行为有了很好的了解。大部分函数论由于勒贝格积分论而产生了巨大变化。但是在处理与Rn中低维点集有关的数学问题时遇到了困难。例如著名的普拉托问题，在二维曲面时尚可以结合共形变换和狄利克雷原理巧妙地应用勒贝格方法而解决。而在曲面的维数超出2时,这些经典的方法就失败了。几何测度论正是在这种背景下产生。它始于1914年C.卡拉西奥多里关于测度论的基础性工作，经过几十年的发展，熔合了来自分析、几何、代数拓扑中的许多技巧，产生了许多新的概念，成为数学研究的一个有力工具。 豪斯多夫测度与可求积集合 在卡拉西奥多里的工作出现以后的开始20～30年内，大部分的兴趣在于了解Rn中的子集关于m 维豪斯多夫测度, 积分几何测度等各类测度的行为。对于A嶅Rn,0≤k《∞,δ》0,定义A的k维豪斯多夫测度（简称hk测度）为 ，式中。hk测度是Rn中的一个博雷尔正则测度。又定义inf{k:hk(A)=0}为A的豪斯多夫维数,简称h 维数。当k=n时，hn(A)=μn(A)，n=0时h0(A)为A的元素个数。0和n中间每个数均可出现为Rn中某个子集的h 维数。例如康托尔集的h 维数为ln2/ln3。 设A的hk测度有限, 在k》0时,若存在Rk中某个有界子集到 A的李普希茨映射（即二点距离的增长比受到某个正常数控制的映射）,那就称A为k可求积集（k=0时为有限集，也称可求积集）。如果A除了一个hk测度为0的子集外,为可列个k可求积集合覆盖,就称A为(hk,k)可求积集。集合的可求积性质是一阶光滑流形的某种推广。事实上,A为(hk,k)可求积集合的充要条件是：除了一个hk测度为0的子集外,它可由Rn中可列个C1类k维子流形所覆盖。可求积集合的这种描述使得对于它的构造的研究，特别是它的射影性质的研究成为几何测度论的重要内容。在A不含有hk测度大于0的k可求积子集时,称A为纯粹(hk,k)不可求积集合。 设p:Rn→Rk为正交射影,即保持内积不变的线性映射。其共轭记为p*,它的全体记为(n,k),正交群O(n)=O(n,n)通过右乘可递地作用在(n, k)上。这个运算在(n,k)上诱导出惟一的不变测度θ*,使得空间(n,k)关于θ*的全测度等于1，那么当A为(hk,k)可求积集合时，成立 式中。上式右边即为A的积分几何测度I，它先在A与n-k维仿射子空间p-1(y)的交集上积分，然后让p取遍所有正交射影。因此这个式子反应了 (hk，k)可求积集合的射影性质。这是求平面曲线长度的克罗夫顿方法的推广，也类似于柯西寻求凸体周界面积的方法。另一方面, 对于hk测度有限的任何博雷尔集B，总存在博雷尔子集C嶅B,使得，,且(B\C为纯粹(hk,k)不可求积。进一步,成立,当且仅当B为(hk,k)可求积。以上这些结果首先为A.S.贝斯尔科里奇对平面上的h1测度得到。1947年，H.费德雷尔证明了一般情形。 在几何测度论发展早期就知道，对于Rn中每个勒贝格可测集W以及Rn到Rk的李普希茨映射�0�6，有面积公式 ，式中Jk�0�6(x)为�0�6的雅可比式。在�0�6为一一时，右边的积分就等于hk(�0�6(W)),因此对于n可求积集合,它的hn测度就等于微分几何中的 n维体积。利用映射在一点“近似可微”这个概念, 可以将这个公式推广到Rn中的(hk,k)可求积集合。但在�0�6(W )的h 维数小于n时，公式反映的信息很少。1957年，费德雷尔证明：对每个李普希茨映射,及每个μn可测集W 成立余面积公式： 。面积公式与余面积公式分别应用于目标空间的维数至少为n与至多为n的情形。因此可将它们看成是对偶的公式，余面积公式也已被推广到(hk,k)可求积集合的情形。这些公式的研究使得人们了解到，关于可微映射的积分变换的本质上的假定在于对这个映射的雅可比式秩的限制。 密度 密度与近似切锥是描述一个测度局部行为的两个重要概念。对于拉东测度v，以α为心,r为半径的球关于v的测度与的比值，在r→0时的上极限与下极限分别称为测度v在α点的k维上密度与k维下密度。二者相等时就称为k维密度 k(v,α)。利用上密度可以定义集合的近似切锥，它何时成为向量空间与该集合的可求积性质和射影性质有着深刻的联系。利用密度定义的另一个重要概念是集合在一点的外法线。当集合有光滑边界时，这个概念非常直观，在一般情形相当复杂。 给定点集Q，如下定义新的测度у墯Q:集合G关于у墯Q 的测度у墯Q(G)=у(Q∩G)。集合A在一点b的外法线是如下确定的一个单位向量u=n(A，b),当Q1为过b点且以u为法向的超平面围成的半空间(x-b)·u》0时，,Q2为另一半空间(x-b)·u《0时,。这个概念只含有点集A关于μn的测度论行为，而不用预先知道A的拓扑结构,甚至边界的概念也未提到。这样可塑的概念使高斯-格林公式推广到相当一般的程度:设集合A嶅Rn,令,。如果对每个紧集,那么对Rn上有紧集的每个李普希茨一阶向量场ξ，成立 。另一方面，若以BdryA记A的普通边界，那么在对Rn的每个紧集K，都有时,上述条件满足，从而推广的高斯-格林公式也成立。 整流 长期以来，人们就寻求着n维空间中“k维积分区域”的分析与拓扑的描述。这个概念应该保留微分流形的光滑性与整系数多面体链的组合性质所带来的好处，同时为满足变分的需要，这类区域应具有某种紧致性质。“整流”正是为这样的需要而产生。 设U 为Rn中的开集，以m(U)记紧支集落在U内的m 阶光滑微分形式全体。m(U)上的线性泛函称为m维流,其全体记为m(U)。流S ∈m(U)的支集sptS理解为U内的最小相对紧子集C, 使得对一切满足 sptφCU\C的 φ∈m(U ), 有S(φ)=0。流这个概念是由法国数学家G.-W.德·拉姆为研究霍奇理论而引入的。由于一个曲面决定于对定义在它上面的任意 m阶光滑微分形式的积分运算。因此m 维几何曲面可以分析地表示成一个流。特别地,由点α0,α1,…,αm生成的单纯形若落在U内,那么它也代表一个流。这种流的整系数线性组合，称为U中的一个整系数多面体链。如果一个流可以用整系数多面体链关于李普希茨映射的像来逼近，就称它为可求积流。利用边缘算子д可以构成新的流дS,定义为дS(φ)=S(dφ)。这里d为外微分运算，如果S与дS均为可求积流,就称S为整流。例如每个一维整流是总长度小于∞的有限多条单弧与可数条单闭弧的和。Rn 中的每个n维整流可表示成,其中e1,e2,…,en为Rn的切空间的标准基，A为使得推广的高斯-格林公式成立的勒贝格可测集。当1《m《n时，Rn中的m维整流是相当复杂的。但重要的是，由紧支集在同一有界集内且按某个范数有界的整流组成的集是紧的。正是这一点形成了变分学中新的几何方法。 如果流S可以表示成R+дT，R和T都是可求积流,就称S为整平坦链。利用边缘算子可以建立这类流的同调理论。它与局部李普希茨范畴内的、整系数的经典奇异同调论同构。但对于积分问题，相交理论等，这种链群明显地优于奇异链群。因为与奇异链不一样，一条平坦链与其分刈等同,这就简化了循环的构造,并得到较好的实系数上循环。不仅如此，还发现所谓的等周不等式不仅对经典的微分几何中某些特殊情形成立，而且对这种同调论有类似估计，这就将代数拓扑与测度论联系起来了。 可以用流的理论来研究普拉托问题，存在性定理表明极小曲面总是一个m维局部可求积流，即这样的流S∈m(U),对每个x∈U，总存在紧支集在U内的可求积流R，使x媂spt(S-R)。曲面的光滑性问题就是sptS的光滑性问题。若α∈sptS存在领域V嶅Rn,使V∩sptS为C2类m维子流形,就称α为正则点，否则就称奇点。由于几何测度论的发展,使高维普拉托问题取得重大进展。当m ≤6时极小曲面是光滑的,在m≥7时奇点集的h 维数不超过m-7。 类似于局部可求积流，可以定义局部整流，局部整平坦流。后者与流形上分析中的实解析子簇与复解析子簇有十分密切的关系。 弱可微函数 又称有界变差函数。Rn上光滑函数的可微性可以用这样的方法来刻画：对于Rn上有紧支集的李普希茨向量场ξ，成立 ，但是右边的积分并不一定要求�0�6光滑,仅要求�0�6局部μn可积。因此ξ(x)的这个线性泛函可以看成 �0�6 的测度论意义下的弱微分，只要它满足里斯表示定理的有界性假定。这种�0�6 称作弱可微函数。开集上的弱可微函数全体记为BV(),则BV()按范数形成巴拿赫空间。弱可微函数曾在各种场合下出现，首先在勒贝格面积论，而后在偏微分方程论中，特别地，它是极小曲面的理论中的有力工具。 参考资料：　参考书目 　H. Federer,Geometric Measure Theory,Springer-Verlag, Berlin, 1969.

请谈谈你对里斯定理的理解

在泛函分析中，有多个有名的定理冠以里斯定理，又称里斯表示定理（Riesz representation theorem），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。 中文名 里斯定理 外文名 Riesz representation theorem 快速 导航 Cc(X) 上线性泛函的表示定理C0(X) 的对偶空间的表示定理 希尔伯特空间表示定理 这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。如下所述，（反）同构是特别自然的。 设 是一个希尔伯特空间，令 表示它的对偶空间，由从 到域 或 的所有连续线性泛函。如果 是 中一个元素，则函数 定义为 是 的一个元素，这里 表示希尔伯特空间的内积。里斯表示定理断言 中任何元素都能惟一地写成这种形式。